PERMUTASI DAN KOMBINASI Matematika Diskret,

DASAR PENGHITUNGAN
|A| : jumlah elemen dalam himpunan A
Aturan Penjumlahan:
|A| = |S1|+|S2|+|S3|+ . . . . .+|Sn|, dimana himpunan-himpunan bagian (S1, S2,..., Sn) semuanya saling asing
Aturan Perkalian:
suatu pekerjaan melibatkan k buah langkah
langkah 1 - dengan n1 cara
langkah 2 - dengan n2 cara
................
langkah k - dengan nk cara
Maka keseluruhan pekerjaan dapat dilakukan dengan: (n1) (n2) (n3).... (nk) cara


Contoh 1:
Dalam suatu kartu bridge, berapa cara untuk mengambil:
a. Sebuah jantung atau sebuah daun
b. Sebuah jantung atau kartu As
c. Sebuah As atau King
d. Sebuah kartu bernomor 2 hingga 10
JAWAB:
a. Karena antar gambar kartu adalah saling asing, maka banyak cara mendapatkan
= 13 + 13 = 26 cara
b. Banyak cara = 13+3 = 16 cara
c. Banyak cara = 4+4 = 8 cara
d. Banyak cara = 9+9+9+9 = 36 cara

Contoh 2:
Misal 2 dadu yang berbeda warnanya dilontarkan. Ada berapa cara untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8
JAWAB:
- Cara mendapatkan jumlah angka 4 ada 3 cara
- Cara mendapatkan jumlah angka 8 ada 5 cara
Sehingga untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8 ada : 3+5 = 8 cara

Contoh 3:
Jika 2 buah dadu yang berbeda dilontarkan, berapa banyak kemungkinan angka yang muncul?
JAWAB:
Sebuah dadu mempunyai 6 kemungkinan kemunculan angka-angka, sehingga kalau 2 buah dadu ada: 6*6=36 cara
(Jika ada n dadu, ada 6n kemungkinan)

Contoh 4:
Suatu kode terdiri dari 3 huruf dan diikuti 4 angka, contoh BAC4321.
a. Jika baik huruf atau angka dapat diulangi penggunaannya, ada berapa kode berbeda yang dihasilkan
b. Bagaimana jika hurufnya saja yang boleh diulang
c. Bagaimana jika huruf maupun angka tidak boleh diulang
JAWAB:
a. Banyak cara = 26*26*26*10*10*10*10 = 263*104
b. Banyak cara = 263*10*9*8*7
c. Banyak cara = 26*25*24*10*9*8*7

Contoh 5:
Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 2 atau 3 digit dapat dibentuk dengan menggunakan angka-angka 1,3,4,5,6,8 dan 9, jika perulangan tidak diperbolehkan
JAWAB:
Banyak cara : 7*6 + 7*6*5 cara


PERMUTASI

- Urutan diperhatikan
- Perulangan tidak diperbolehkan
- Dinotasikan:

- Bila r=n, mana P(n,r) = n!


Contoh 6:
Dalam suatu kelas ada 20 orang. Berapa cara untuk memilih ketua dan bendahara
JAWAB:
Banyak cara = 20*19 =380 cara (urutan diperhatikan)
(hal ini akan berbeda jika akan dipilih 2 orang wakil kelas, karena urutan tidak diperhatikan)


Contoh 7:
Tuliskan semua permutasi 3 objek {a,b,c}
JAWAB:
Ada 3! = 6 kemungkinan, yaitu:
abc, acb, bca, bac, cab, cba

Contoh 8:
Suatu undian menggunakan 7 digit angka, jika digit-digitnya harus berbeda dengan yang lain, ada berapa kemungkinan nomor undian?
JAWAB:
P(10,7) =10!/3! = 10.9.8.7.6.5.4 macam kemungkinan


KOMBINASI

- Urutan kemunculan tidak diperhatikan
- Dinotasikan

- Bila r=n, mana C(n,r) = 1

Contoh 9:
Berapa tim Basket yang dapat dibentuk dari 12 orang?
JAWAB:
Urutan pemain tidak diperhatikan (abc = bac)
Jadi, banyak tim: